FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇAO DO 2º GRAU

FUNÇÃO QUADRÁTICA    OU   FUNÇAO DO 2º GRAU

 

 

Lembre-se: grau da função é determinado de acordo com o maior expoente da variável x. No caso da função quadrática, dois é o maior expoente de x.

 Atenção! Se em uma função não houver nenhum expoente na variável x significa que ela é do primeiro grau.

A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela seguinte expressão:

 

f(x) = ax² + bx + c

 

Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Exemplo:

f(x) = 6x² - x + 5  a = 6; b = -1; c = 5.

f(x) = x² – 9          a = 1; b = 0; c = -9.

f(x) = x² –2x        a = 1; b = -2  e c = 0

f(x) = x²                       a = 1 ; b = 0  e c = 0

As raízes de uma função quadrática fornecem os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos do plano cartesiano.

Quando consideramos uma função quadrática da forma y = ax² + bx + c e substituímos inicialmente o x por  0, vamos encontrar a intersecção com o eixo OY. Agora, se o y = 0, vamos encontrar a intersecção com eixo OX, ou seja, as raízes da equação fornecem a intersecção com o eixo x. Veja um exemplo:

y = x² – 4x

 

Se  x = 0 e substituir na função dada. Assim,   y = 0 . 2 – 4 (0) = 0. Note que, quando x = 0 , y = 0. Assim, temos o seguinte par ordenado (0, 0). Esse par ordenado fornece a intersecção com o eixo y.   Agora  y = 0 e substituindo na função, vamos obter o seguinte:

x² – 4x = 0

x.(x - 4) = 0

x’ = 0

x’’- 4 = 0

x’’ = 4

 

 

Logo, temos dois pontos de intersecção (0, 0) e (4, 0) e, no plano cartesiano, temos o seguinte:

 

Podemos usar a Fórmmula de Bhaskara  para encontrar os zeros da função.

 

               

           

            Com isso, ganhamos uma ferramenta muito importante: olhando para o discriminante, podemos saber em quantos lugares o gráfico intercepta o eixo x.

 

Se o delta é maior que zero (positivo), o gráfico “corta” o eixo x em dois pontos, ou seja, temos x’ e x’’.

Se o delta é igual a zero, o gráfico “corta” o eixo x em um ponto, ou seja, x’ = x’’.

Se o delta é menor que zero (negativo), o gráfico não “corta” o eixo x, pois não existem raízes reais.

 

Logo observe:

 

 

Exemplos

 

1 - Dada a função f(x) = -x² + 2x – 4. Determine:

a) A intersecção com o eixo OY.

b) A intersecção com o eixo OX.

c) Esboce o gráfico da função.

Solução:

a) Para determinar a intersecção com eixo OY , basta tomar o valor de x

0. -(0)² +2(0) – 4

0 + 0 – 4

-4

Assim, temos o par ordenado (0, -4).

Para encontrar a intersecção com o eixo OX, vamos igualar o valor de y = 0. Assim:

 

-x² +2x – 4 = 0

 

a = -1      b = 2       c = -4

Δ = b² - 4ac

Δ = (2)2 - 4(-1)(-4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

Como o valor do discriminante é menor que zero, a função não intercepta o eixo x.

Para fazer o esboço do gráfico, devemos olhar os pontos de intersecção e analisar a concavidade da parábola. Como a < 0, a parábola será côncava para baixo. Assim:

 

Dada a função f(x) = x² - 5x +6. Determine:

a) A intersecção com o eixo OY.

b) A intersecção com o eixo OX.

c) Esboce o gráfico da função.

Sendo:

 a = 1   b = -5    c = 6

Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

Portanto, as raízes são 2 e 3.

 

 

O gráfico das funções do 2º grau são curvas que recebem o nome de parábolas. Em relação ao vértice, na função de primeiro grau é possível traçar o gráfico a partir de dois pontos. Contudo, isso não acontece na função de segundo grau, pois é necessário conhecer mais que dois pontos. 

Existe ainda um outro ponto, chamado de vértice da parábola , que é o valor máximo ou mínimo da função. Este ponto é encontrado usando-se a seguinte fórmula:

Lembre-se que é possível identificar a posição da concavidade da curva analisando apenas o sinal do coeficiente a. Se o coeficiente for positivo, a concavidade ficará voltada para cima e se for negativo ficará para baixo. O vértice irá representar o ponto de valor máximo da função quando a parábola estiver voltada para baixo e o valor mínimo quando estiver para cima.

 

 

Exemplos:

Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função :

f(x) = x² - 2x – 3

a = 1      b = -2    c = -3

Δ = b² - 4ac

Δ = (-2)²   - 4. 1 . (-3)

Δ =  4  +12

Δ = 16

Por ai já temos algumas conclusões:

concavidade voltada para cima, logo terá ponto de mínimo.

duas raízes distintas,

intercepta o eixo y em (0, -3)

x_{v   =}  -(-2) =  2  =1                  y_v =     -16    = -4

         2 . 1      2                                   4 . 1

Teremos o ponto  (1, -4)    que é ponto mínimo.

  

 

2) Uma bola é  lançada do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função f(t) = 8t – t², onde a altura f(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos.

a) Qual a  altura máxima atingida

 b) O tempo que o corpo levou para atingir a altura máxima?

f(t) = 8t – t²

a = -1  b = 8   c = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = (8)²   - 4. (-1) . 0

Δ =  64

 

x_{v   =}  -8          =    -8  = 4                   y_v =  -6 4         =  16

        2 . (-1)         -2                                    4 . (-1)

 

Graficamente temos:

    

                    

 

Exercícios

 Dada a função h definida por h(x) = x² - 4x + 3 , Construa o gráfico e responda as questões a seguir:

a) O gráfico da função h pode ser representado por uma reta? Por quê?

 b) Quais são os zeros dessa função?

c)  Qual é o vértice da função h?

d) Em qual(is) intervalo(s) a função é crescente?

 e) Em qual(is) intervalo(s) a função é decrescente?

 f) Quanto à concavidade, a função h é côncava para cima ou para baixo? Por quê?

 g) A função h assume valor máximo ou mínimo? Qual é o ponto?

 

ORIENTAÇÕES:

- LEIA O RESUMO COM ATENÇÃO E ASSISTA AO VIDEO;

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https://www.youtube.com/watch?v=yA7lkkgx86Q

https://www.youtube.com/watch?v=8d1VW1ieD2Y

-AULA PELO MEET, DIA 09/07 QUINTA -FEIRA  AS 20 HORAS,  SEGUE O LINK:

meet.google.com/vyq-pyar-gme

 -ENTREGAR  EXERCÍCIOS ATÉ 15/08

-NÃO ESQUECER DE SE IDENTIFICAR :COLOCAR NOME, NÚMERO E SÉRIE.

-DÚVIDAS PELO BLOGGER OU E-MAIL: claudiamatos@prof..educacao.sp.gov.br