PROGRESSÃO ARITMÉTICA       E      PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

     A ideia de PROGRESSÃO  está relacionada com  sucessão. Na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

     Na Progressão Aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. Para determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a_n  = termo qualquer da sequência
a₁ = primeiro termo
n  = posição do termo na sequência
r  = razão

Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n primeiro termos, que é a seguinte:

S_n=  (a₁ + a_n) . n
                  2

S_n = soma dos n primeiros termos de uma PA
n = posição do termo na sequência
a₁ = primeiro termo da sequência
a_n = termo qualquer da sequência

Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule a soma dos 20 primeiros termos.

Dados:

a₁ = 1

r = 2 → (7 – 5 = 2)   ou

n = 20

a₂₀ = ?

Resolução:

a_n = a₁ + (n – 1) . r

a₂₀ = 1 + (20 – 1) . 2

a₂₀ = 1 + (19) . 2

a₂₀ = 1 + 38

a₂₀ = 39

O vigésimo termo da sequência é o número 39.

S_n=    ( a₁ + a_n ) .n
                   2

S₂₀ =  ( 1 + 39 ) . 20
                     2

S₂₀ =    ( 40) . 20
                  2

S₂₀ = 20 . 20

S₂₀ = 400

A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400.

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como qualquer sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é dada por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a fórmula:

a_n = a₁ . q^{n – 1}

a_n = termo qualquer da sequência
a₁ = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo da sequência

Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros termos, que é dada por:

S_n =      a₁ . (qⁿ – 1)
                   q - 1

S_n = soma dos n primeiros termos de um PG
a₁ = primeiro termo da sequência
q = razão
n = posição do termo na sequência

Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 54...) e, em seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos.

Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, efetue as divisões:
6 = 3
2

18 = 3
 6

54 = 3
18

Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a₁ = 2 e n = 6, substituiundo os valores na fórmula:

a₆ = a₁ . q^{n – 1}

a₆ = 2 . ( 3)^{6 -1}

a₆ = 2 . (3)⁵

a₆ = 2 . 243

a₆ = 486

O sexto termo da PG é o número 486. 

Vamos agora calcular a soma dos seis primeiros termos da sequência.

S_n = a₁ . (qⁿ - 1)
              q – 1

S_n = 2 . (3⁶ - 1)
           3 – 1

S_n = 2 . (729 - 1)
            3 – 1

S_n = 2 . (728)
             2

S_n = 1456
          2

S_n = 728

A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728.

·        A diferença entre Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.

Uma Progressão Aritmética é a sequência de números em que um termo é resultado da soma do termo anterior com a razão(r).

Exemplo: ( 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, ...)

É possível notar no exemplo que a diferença entre  termos  consecutivos é igual   a 6, ou seja, a razão(r) dessa PA é 6.

Já uma Progressão Geométrica, um termo é resultado da multiplicação do termo anterior com razão(q).

Exemplo: (1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, ...)

         É possível notar no exemplo que  o quociente entre  termos  (dividir um número pelo seu antecessor.) é  4, ou seja, a razão(q) dessa P.G é 4.

ORIENTAÇÕES:

-REVISAR OS EXERCÍCIOS DO CADERNO DO ALUNO;

-COMPLETAR O CADERNO DO ALUNO ATÉ PAGINA 20

- FAZER ATIVIDADE DE RECUPERAÇÃO;

-ENTREGAR ATÉ 29/05

-NÃO ESQUECER DE SE IDENTIFICAR :COLOCAR NOME, NÚMERO E SÉRIE.

-DUVIDAS PELO BLOGGER OU E-MAIL: claudiamatos@prof..educacao.sp.gov.br

EXERCICIOS

11)  Dada a sequência (-6,-1,4,9,14.....), calcule o décimo oitavo termo dessa sequência.

22)    Dada a sequência (4,11,18,25,32,39,46,53,60), calcule a soma dos termos dessa P.A.

33)    Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule o décimo oitavo termo dessa sequência.

44)  Dada a sequência (1,2,4,8,16,32,64,128,256), calcule a soma dos n termos dessa sequência.

55) Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano. 

66)  Um ciclista percorre 40 km na primeira hora; 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?